Átmenet egyikből a másikba. Folytatás.

E fejezet egyes részei nem emészthetők annyira könnyen, mint az előző (vagy következő) fejezetek anyaga, és olykor kissé technikaiak. Leírásomban próbáltam nem csalni, és egy kicsit keményebben kell majd dolgoznunk, mint egyébként, hogy valamennyire megérthessük a kvantumos világot. Tanácsolom az Olvasónak, folytassa akkor is, ha egy érv homályos marad, próbáljon a szerkezet egészének ízére ráérezni. Ne keseredjen el akkor sem, ha a teljes megértés nem sikerül. Ez magának a tárgykörnek a természetéből ered!

Mint Moldova csodacsatára az Idegen bajnok-ban én is lehajolok és megkötöm rendesen a futballcipőm fűzőjét, nehogy leessen miközben megkísérlem a kissé nehéznek ígérkező utolsó akciót (itt a megértést) végrehajtani. -amúgy mindig is falábú voltam a fociban, soha nem voltam csodacsatár, de nagyon szerettem játszani.

Itt Penrose könyvének hatodik fejezetének tartalmáról: a kvantumfizika rejtelmeiről beszél.                                                                    A klasszikus elmélet problémái

Miből tudjuk, hogy a klasszikus fizika nem írja le világunkat tökéletesen? A fő okok kísérletiek. A kvantumelméletet nem az elméletiek kínálták nekünk. Legtöbbször csak nagyon vonakodva

 hagyták magukat e különös és filozófiailag sok tekintetben nem kielégítő világnézet felé vezetni. Ám a klasszikus elméletnek minden nagyszerűsége ellenére komoly nehézségei vannak. Ezek gyökere az, hogy kétfajta fizikai objektumnak kell együtt léteznie: véges, kisszámú (három hely, három impulzus) paraméterrel leírt részecskéknek és végtelen számú paramétert igénylő mezőknek. Ez a kettéosztás fizikailag nem igazán következetes. Egy rendszerben, amelyben részecskék és mezők is vannak, egyensúlyban (azaz „teljesen megállapodottan”) minden energia átmegy a részecskékből a mezőkbe. Ez az „energia ekvipartíciójának” nevezett jelenség eredménye: egyensúlyban az energia egyenletesen oszlik meg a rendszer szabadsági fokai között. Mivel a mezőknek végtelen sok szabadsági foka van, szegény részecskéknek nem marad semmi!

Speciálisan, a klasszikus atomok nem lennének stabilisak, a részecskék minden mozgása átvivődne a mezők hullámmódusaiba. Idézzük fel az atom „naprendszer”-modelljét, ahogy azt 1911-ben a kiváló új-zélandi–brit kísérleti fizikus, Ernest Rutherford kidolgozta. A bolygók helyében a keringő elektronok, a Nap helyében a központi atommag – a lépték parányi –, s nem a gravitáció, hanem az elektromágnesség tartja össze e rendszert. Alapvető és látszólag leküzdhetetlen probléma, hogy a mag körül keringő elektronnak a Maxwell-egyenletek szerint elektromágneses hullámokat kell kibocsátania, amelyek intenzitása gyorsan, egy másodperc kis töredéke alatt végtelenre nő, ahogy az elektron spirális pályán belezuhan a magba! Ám semmi ilyet nem figyelünk meg. Amit ténylegesen megfigyelünk, az a klasszikus elmélet alapján megmagyarázhatatlan. Az atomok ki tudnak bocsátani elektromágneses hullámokat (fényt), de csak nagyon speciális, diszkrét frekvenciájú adagokban – ezek eredményezik a megfigyelt éles színképvonalakat (6.1. ábra). Mi több, ezek a frekvenciák „örült” szabályokat¹⁰⁹ elégítenek ki, amelyeknek a klasszikus elméletben semmiféle alapjuk nincsen.

Speciálisan, a klasszikus atomok nem lennének stabilisak, a részecskék minden mozgása átvivődne a mezők hullámmódusaiba. Idézzük fel az atom „naprendszer”-modelljét, ahogy azt 1911-ben a kiváló új-zélandi–brit kísérleti fizikus, Ernest Rutherford kidolgozta. A bolygók helyében a keringő elektronok, a Nap helyében a központi atommag – a lépték parányi –, s nem a gravitáció, hanem az elektromágnesség tartja össze e rendszert. Alapvető és látszólag leküzdhetetlen probléma, hogy a mag körül keringő elektronnak a Maxwell-egyenletek szerint elektromágneses hullámokat kell kibocsátania, amelyek intenzitása gyorsan, egy másodperc kis töredéke alatt végtelenre nő, ahogy az elektron spirális pályán belezuhan a magba! Ám semmi ilyet nem figyelünk meg. Amit ténylegesen megfigyelünk, az a klasszikus elmélet alapján megmagyarázhatatlan. Az atomok ki tudnak bocsátani elektromágneses hullámokat (fényt), de csak nagyon speciális, diszkrét frekvenciájú adagokban – ezek eredményezik a megfigyelt éles színképvonalakat (6.1. ábra). Mi több, ezek a frekvenciák „örült” szabályokat¹⁰⁹ elégítenek ki, amelyeknek a klasszikus elméletben semmiféle alapjuk nincsen.

A mezők és részecskék instabil együttélésének egy másik megnyilvánulása a „feketetest-sugárzás” néven ismert jelenség. Képzeljünk el egy határozott hőmérsékletű objektumot, amikor az elektromágneses sugárzás egyensúlyban van a részecskékkel. Rayleigh és Jeans 1900-ben kiszámították, hogy ekkor a mezők minden energiát felszívnának – korlát nélkül! Ez fizikai abszurditást foglal magában (az „ultraibolya-katasztrófát”: az energia folyamatosan megy át a mezőkbe, egyre magasabb frekvenciák felé, megállás nélkül), ám a Természet sokkal óvatosabban viselkedik. A mezők alacsony frekvenciájú oszcillációiban az energia tényleg annyi, ahogy Rayleigh és Jeans azt megjósolták, de a magas frekvenciáknál, ahol ők katasztrófát jósoltak, a megfigyelések azt mutatják, hogy az energia nem növekszik korlátlanul, hanem a frekvencia növekedésével nullához tart. Az energia a legnagyobb értéket adott hőmérséklet mellett egy nagyon speciális frekvencián (azaz színnél) veszi fel (lásd 6.2. ábra). (A piszkavas piros vagy a Nap sárgásfehér izzása két közismert példája ennek.)

A kvantumelmélet kezdetei

Mi a megoldásuk ezeknek a rejtélyeknek? A részecskék eredeti newtoni rendszerét biztosan ki kell egészíteni a Maxwell-féle mezőkkel. Elmehetünk-e a másik szélsőségig, feltételezve, hogy minden, ami van, mező, és a részecskék egyfajta mező kis, véges méretű „csomói”? Ennek is vannak nehézségei, mert a részecskék így egyfolytában változtatnák alakjukat, végtelen sok különböző módon tekergőznének és rezegnének. Azonban nem ezt látjuk. A fizikai világban az ugyanolyan típusú részecskék azonosaknak látszanak. Például bármely két elektron ugyanolyan. Még az atomoknak és molekuláknak is csak diszkréten különböző elrendezéseik lehetnek.¹¹⁰ Ha a részecskék mezők, akkor valami új elemre van szükség, amely a mezőket diszkrét jellemzőkkel ruházza fel.

1900-ban a ragyogó, de konzervatív és óvatos német fizikus, Max Planck forradalmi elképzeléssel állt elő a nagyfrekvenciás „feketetest”-módusok elnyomására: az elektromágneses rezgések csak „kvantumokban” mennek végbe, amelyek E energiája határozott viszonyban van a v frekvenciával,

 

E = hv,

 

Hogy lehet az, hogy a fény egyszerre tartalmaz részecskéket és mezőrezgéseket? Ez a két fogalom kibékíthetetlenül ellentmondásosnak látszik. Egyes kísérleti tények mégis világosan jelzik, hogy a fény részecskékből áll, mások pedig azt, hogy hullámokból. 1923-ban a francia arisztokrata és ötletdús fizikus, Louis de Broglie herceg egy lépéssel továbbvitte ezt a részecske–hullám kettősséget, amikor

azt javasolta, hogy maguk az anyag részecskéi olykor hullámként viselkednek! Az általa javasolt v hullámfrekvencia tetszőleges m tömegű részecskére eleget tesz a Planck-összefüggésnek. Összekapcsolva az Einstein-féle E = mc² egyenlőséggel megkapjuk v és m viszonyát:

 

hv = E = mc².

 

De Broglie javaslata szerint tehát a részecskék és mezők kettéosztottságát, ami a klasszikus elmélet egy tulajdonsága volt, a Természet nem méltányolja! Bármi, ami v frekvenciával rezeg, csak diszkrét hv/c² tömegegységekben fordulhat elő. A Természet valahogyan kitalálta, hogyan építsen fel olyan konzisztens világot, amelyben a részecskék és a mezőrezgések ugyanazt a dolgot jelentik! Vagy másképp szólva a világ finomabb alkotórészekből áll, amelyekre a „részecske” és „hullám” megjelölés csak részben megfelelő.

A Planck-összefüggés egy másik gyönyörű alkalmazása Niels Bohr dán fizikustól, a 20. század tudományos gondolkodásának kiemelkedő alakjától származik (1913-ból). Bohr szabályai megkövetelték, hogy az atommag körül keringő elektronok impulzusmomentuma (lásd 5. fejezet) csak h/2π egész számú többszöröse lehessen, erre vezette be később Dirac a hagyományos ħ szimbólumot:

 

ħ = h/2π.

 

Így az (egy tengely körüli) impulzusmomentum megengedett értékei:

 

0, ħ, 2ħ, 3ħ, 4ħ, … .

 

Az atom „naprendszer”-modellje ezzel az új elemmel igen pontosan megadott sok diszkrét, stabil energiaszintet és „őrült” szabályt a színkép frekvenciáira, amelyeknek a Természet ténylegesen engedelmeskedik!

Bohr-elmélete még nem volt az „igazi”, írja Penrose; ugyanakkor Heisenberg:  Rész és egész c. önéletrajzi írásában Bohrt az elmélet kidolgozói, kutatói között a kérdéskör egyik főszereplőjeként mutatja be; akinek dániai otthonában sokszor összegyűltek a fizikusok: és hideg őszi vagy téli estéken – forró teát kortyolgatva  - hosszú vitákat folytattak a témában felmerülő megoldatlanságokról, ellentmondásokról, rejtélyekről. Ugyanezt persze máshol, a más helyszíneken, más országokban rendezett kongresszusokon, vagy egyetemi előadások után is megtették.  

A ma ismert kvantumelmélet két későbbi, egymástól független elgondolásból nőtt ki, amelyek szerzője két neves fizikus: a német Werner Heisenberg és az osztrák Erwin Schrödinger. A két rendszer (az 1925-ös „mátrixmechanika” és az 1926-os „hullámmechanika”) először egészen különbözőnek látszott, de hamarosan megmutatkozott, hogy egyenértékűek, és egy átfogóbb és általánosabb keretben egyesítették azokat, elsősorban a kitűnő brit elméleti fizikus, Paul Adrien Maurice Dirac.

A kétrés-kísérlet

Nézzük a kvantummechanikai kísérletek „mintapéldányát”, amelyben egy elektronnyaláb vagy fény, vagy másfajta „részecske–hullám” egy szűk réspáron áthaladva jut a rések mögött elhelyezett ernyőre (6.3. ábra). A határozottság kedvéért válasszuk a fényt, és a szokásos terminológiának megfelelően nevezzük a fénykvantumokat „fotonoknak”. A fény legvilágosabb részecskemegnyilvánulása (azaz a fotonok) a képernyőn látható. Ide diszkrét, lokalizált energiaegységekben érkezik, amelynek nagysága és a fény frekvenciája között változatlanul fennáll a Planck-féle kapcsolat: E = hv. Az energia soha nem „fele” (vagy másféle töredéke) egy fotonnak. A fény beérkezése fotonegységekben „minden vagy semmi” jelenség. Mindig csak egész számú fotont lehet látni.

Azonban hullámszerű viselkedés figyelhető meg, amikor a fotonok keresztülhaladnak a réseken. Tegyük fel először, hogy csak az egyik rés van nyitva (a másikat lezártuk). Áthaladás után a fény szétterjed – ez a diffrakció jelensége, a hullámterjedés egyik tulajdonsága. De kitarthatunk még a részecskekép mellett, és azt képzelhetjük, hogy a rés széleinek közelsége fejt ki valamilyen hatást a fotonokra, és azok véletlenszerűen térülnek el egyik vagy másik irányban. Amikor a fény intenzitása, azaz a fotonok száma elég nagy, akkor az ernyő megvilágítása nagyon egyenletesnek látszik. Ám ha lecsökkentjük az intenzitást, akkor meggyőződhetünk arról, hogy a megvilágítás eloszlása egyedi pontokból tevődik össze, ezekben a pontokban csapódnak be az egyedi fotonok az ernyőre – a részecskeképpel összhangban. A megvilágítás egyenletessége statisztikus jelenség, a fotonok nagyon nagy számának következménye (lásd 6.4. ábra). (Összehasonlításképpen: egy 60 wattos égő másodpercenként kb. 100 000 000 000 000 000 000 fotont bocsát ki!) A fotonok valóban valamilyen véletlenszerű módon látszanak eltérülni, mikor áthaladnak a résen – a különböző szögekben különböző valószínűségekkel, ami a megvilágítás megfigyelt eloszlását eredményezi.

A részecskekép fő problémájával azonban akkor kerülünk szembe, amikor kinyitjuk a másik rést! Tegyük fel, hogy a fény egy sárga nátriumlámpából jön, tehát lényegében tiszta, nem kevert színű – szakkifejezéssel monokromatikus, azaz egy meghatározott hullámhosszt vagy frekvenciát tartalmaz, ami a részecskeképben azt jelenti, hogy minden foton azonos energiájú. Ez a hullámhossz kb. 5 ∙ 10^–7 m. Vegyük a rések szélességét kb. 0,001 mm-re, távolságukat kb. 0,15 mm-re, és az ernyő legyen kb. egy méternyire. Ésszerűen erős intenzitás mellett még mindig szabályosnak látszó megvilágításeloszlást kapunk, de most valamiféle hullámosság jelentkezik, amit interferenciaképnek neveznek, az ernyőn kb. három milliméter széles sávok láthatók a középvonalra szimmetrikusan (6.5. ábra). Azt várhattuk, hogy a második rés megnyitása egyszerűen megkétszerezi az ernyő megvilágításának erősségét. Ám az intenzitás részletes mintázata most tökéletesen különbözik attól, amit egyetlen résnél láttunk. Az ernyő egyes pontjaiban – ahol a minta a legfényesebb – a megvilágítás erőssége nem kétszerese, hanem négyszerese a korábbinak. Más pontokban – ahol a minta a legsötétebb – az intenzitás nullára csökkent. Talán ez jelenti a legnagyobb rejtélyt a részecskekép számára. Amikor csak egy rés volt nyitva, akkor a fotonok vidáman beérkeztek ezekbe a pontokba. Most, hogy kinyitottuk a másikat is, hirtelen valami megakadályozza őket, hogy azt csinálják, amit előbb csináltak. Hogyan lehetséges az, hogy amikor egy alternatív utat nyitunk számukra, akkor valójában mindkettőt elzárjuk előlük?

A foton skáláján, ha „méretének” a hullámhosszát vesszük, a második rés úgy 300 „fotonnyira” van az elsőtől (mindkettő egy pár hullámhossznyi széles) (lásd a 6.6. ábrát). Hogyan „tudhatja” akkor a foton, amikor áthalad az egyik résen, hogy a másik éppen nyitva van-e vagy sem? E „kioltó” vagy „erősítő” jelenség elvileg a két rés akármilyen távolsága mellett bekövetkezhet.

Amint a fény keresztüljut a rés(ek)en, úgy látszik, nem részecske, hanem hullám módjára viselkedik! Az ilyen kioltás – a destruktív interferencia – a közönséges hullámok megszokott tulajdonsága. Ha a hullám két úton külön-külön végigmehet, és ha mindkettő nyitva van számára, akkor nyugodtan előfordulhat, hogy kioltja saját magát. A 6.7. ábrán vázoltam, hogyan következik ez be. Ha a hullámnak az egyik résen áthaladó egy adagja találkozik a másikon áthaladó egy adagjával, akkor, ha „fázisban” vannak (azaz, ha hullámhegy hullámheggyel, hullámvölgy hullámvölggyel találkozik), erősítik, de ha pontosan ellentétes fázisban találkoznak (hullámhegy hullámvölggyel), akkor kioltják egymást. A kétrés-kísérletnél az ernyő fényes sávjai ott jönnek létre, ahol a két réstől mért távolságok különbsége a hullámhossz egész számú többszöröse, tehát hegy valóban heggyel, völgy völggyel találkozik, sötét rész pedig ott, ahol a két távolság különbsége pontosan az előző értékek fele, tehát hegy völggyel, völgy heggyel találkozik.

Abban semmi rejtélyes nincs, hogy egy közönséges, makroszkopikus, klasszikus hullám egyszerre két résen halad keresztül a leírt módon. Egy hullám végül is vagy valamilyen folytonos közeg (mező), vagy apró pontszerű részecskék miriádjaiból állóanyag egy „zavara”. A zavar áthaladhat részben az egyik, részben a másik résen. De most a helyzet egészen más: az összes egyedi foton pusztán önmagában viselkedik hullámként! Valamilyen értelemben mindegyik részecske áthalad egyszerre mindkét résen, és önmagával interferál! A fény teljes intenzitását elegendően lecsökkentve biztosíthatjuk, hogy egy időben csak egyetlen foton legyen a rések szomszédságában. A destruktív interferencia jelensége, amikor a foton számára lehetséges két alternatív út valahogyan megsemmisíti egymást mint lehetőséget, egyetlen foton esetében is megvalósul. Ha a két út közül csak az egyik van nyitva a foton előtt, akkor a foton ezen végigmehet. Ha csak a másik van nyitva, akkor azon is végigmehet. De ha mindkettő nyitva van, akkor a két lehetőség varázslatos módon megsemmisíti egymást, és a foton, úgy látszik, egyiken sem képes átjutni!

Tartson az Olvasó egy kis szünetet, hogy felfogja e rendkívüli tény jelentését. Nem az a helyzet, hogy a fény olykor részecskeként, olykor hullámként viselkedik. A dolog úgy néz ki, hogy minden egyes részecske teljesen önmagában viselkedik hullámszerűén; és az egy részecske számára nyitva álló, különböző alternatív lehetőségek olykor képesek megsemmisíteni egymást!

Ténylegesen kettéhasad a foton, és az egyik rész az egyik, a másik rész a másik résen megy át? A legtöbb fizikus ellenezné a dolgok ilyen megfogalmazását. Kitartanának amellett, hogy noha mindkét, a részecske számára nyitott út hozzá kell járuljon a végső jelenséghez, ezek akkor is alternatív utak, és nem szabad azt gondolni, hogy a részecske két részre hasad, hogy átjusson a réseken. Támogatandó azt a nézetet, hogy a részecske nem részben az egyik, részben a másik résen halad át, a kísérletet úgy módosíthatjuk, hogy az egyik vagy a másik réshez egy részecskedetektort helyezünk. Mivel megfigyeléskor a foton – vagy bármelyik más részecske – mindig egyetlen egésznek mutatkozik, tört résznek soha, ezért detektorunknak is vagy egy egész fotont kell észlelnie, vagy semmit. Ám amikor detektor van az egyik résnél, tehát a megfigyelő meg tudja mondani, melyik résen ment a foton át, akkor az ernyőről a hullámos interferenciarajzolat eltűnik. Hogy interferencia legyen, ahhoz láthatóan szükséges a „tudás hiánya” arról, hogy a részecske „ténylegesen” melyik résen ment keresztül.

Az interferenciához mindkét lehetőségnek hozzá kell járulnia, néha „összeadódva”: kétszer annyira erősítve egymást, mint ahogy várnánk –, néha „kivonódva”: úgy, hogy a lehetőségek rejtélyesen „megsemmisíthetik” egymást. Ami a kvantummechanika szabályai szerint ténylegesen történik, az ennél még rejtélyesebb! A lehetőségek valóban összeadódhatnak (az ernyő legfényesebb pontjai), és valóban kivonódhatnak (sötét pontok); de más furcsa kombinációkká is összeállhatnak (az ernyő közepes intenzitású pontjaiban), mint például

 

„A lehetőség” + i × „B lehetőség”,

 

ahol „i” a „mínusz egy négyzetgyöke”=

amivel a 3. fejezetben találkoztunk. Valójában tetszőleges komplex szám betölthet ilyen szerepet a „lehetőségek kombinációjában”!

Az Olvasó emlékezhet a 3. fejezetben tett figyelmeztetésemre, hogy a komplex számok „abszolút alapvetőek a kvantummechanika szerkezetében”. E számok nem csak matematikai szépségek. Váratlan, de meggyőző kísérleti tényeken keresztül felhívták magukra a fizikusok figyelmét. Hogy a kvantummechanikát megértsük, meg kell barátkoznunk a komplex számokkal való súlyozással.

Valószínűségi amplitúdók

Semmi egyedi nincs abban, hogy a fenti leírásban fotonokat használtunk. Elektronok vagy másfajta részecskék, akár egész atomok ugyanúgy megteszik. A kvantummechanika szabályai, úgy tetszik, még a krikettlabdákra és az elefántokra is ugyanezt a különös viselkedést írják elő, amelyben a különböző alternatív lehetőségek valamilyen módon komplexszám-kombinációkban „adódhatnak össze”! Azonban soha nem látunk krikettlabdákat vagy elefántokat ilyen furcsán szuperponálódni. Miért nem? Ez nehéz, sőt vitatott kérdés, és egyelőre nem kívánok belemélyedni. Egyelőre mint munkaszabályt egyszerűen feltételezzük, hogy a fizikai leírásnak két különböző lehetséges szintje van, a kvantumszint és a klasszikus szint. A furcsa komplexszám-kombinációkat csak a kvantumszinten fogjuk használni. A krikettlabdák és elefántok klasszikus objektumok.

A kvantumszint a molekulák, atomok, szubatomi részecskék stb. szintje. Általában úgy gondolunk rá, mint a nagyon „kis skálájú” jelenségek szintjére, de ez a „kicsiség” valójában nem a fizikai méretre vonatkozik. Látni fogjuk, hogy a kvantumos jelenségek sok méteres, sőt fényéves távolságokon is megjelenhetnek. Valamivel közelebb van az igazsághoz, ha akkor tekintünk valamit a „kvantumszinten” lévőnek, ha csak nagyon kis energiakülönbségek fordulnak elő benne. (Később, főként a 8. fejezetben majd megpróbálok pontosabban fogalmazni.) A klasszikus szint az a „makroszkopikus” szint, amelyről közvetlen tudomásunk van. Ez az, ahol a „dolgok történéséről” alkotott közönséges képünk érvényes, ahol használhatjuk szokásos valószínűségi elképzeléseinket. Látni fogjuk, hogy a komplex számok, amelyeket a kvantumszinten használnunk kell, közeli kapcsolatban állnak a klasszikus valószínűségekkel. Nem igazán azonosak, de hogy megbarátkozzunk velük, érdemes lesz először azt felidéznünk, hogyan viselkednek a klasszikus valószínűségek.

 

Tekintsünk egy klasszikus helyzetet, amely bizonytalan, tehát nem tudjuk, hogy az A vagy B lehetőségek melyike következik be. A helyzetet ezen alternatívák „súlyozott” kombinációjával lehet leírni:

 

p × „A lehetőség” + q × „B lehetőség”,

 

ahol p az A lehetőség, q a B lehetőség valószínűsége. (Emlékezzünk rá, hogy a valószínűség egy 0 és 1 közé eső valós szám. Az 1 valószínűség azt jelenti, hogy „biztosan megtörténik”, a 0 azt, hogy „biztosan nem történik meg”. 1/2 a valószínűség akkor, ha „egyformán valószínű, hogy megtörténik és hogy nem”.) Ha más lehetőség, mint A és B, nincs, akkor a két valószínűség összegének 1-nek kell lennie:

 

p + q = 1.

 

Ha azonban vannak további lehetőségek, akkor az összeg kisebb lehet 1-nél. Ekkor a p : q arány az A és B bekövetkezési valószínűségeinek az aránya. A tényleges valószínűségek, ha tudjuk, hogy a két esemény valamelyike bekövetkezik, p/(p + q) és q/(p + q). Ezt az értelmezést akkor is használhatjuk, ha p + q nagyobb, mint 1. (Ez hasznos lehet például akkor, amikor egy kísérletet sokszor megismétlünk, és p-szer fordul elő az A esemény, q-szor a B esemény.) Azt mondjuk, hogy p és q normáltak, ha p + q = 1, tehát megadják a tényleges valószínűségeket, nem csak azok hányadosát.

A kvantumfizikában csinálunk majd valamit, ami nagyon hasonlónak látszik ehhez, csak p és q most komplex számok – amelyeket jobban szeretek w-vel és z-vel jelölni:

 

w × „A lehetőség” + z × „B lehetőség”.

 

Hogyan értelmezzük w-t és z-t? Biztosan nem közönséges valószínűségek (vagy azok hányadosai), mert mindegyik lehet negatív vagy komplex, de sok tekintetben a valószínűségekhez hasonlóan viselkednek. Valószínűségi amplitúdóknak nevezzük őket (megfelelő normálás esetén – lásd később), vagy egyszerűen amplitúdóknak. Mi több, gyakran használjuk azt a terminológiát, amelyet a valószínűségek sugallnak: „w amplitúdója van annak, hogy A bekövetkezik, és z amplitúdója annak, hogy B bekövetkezik”. Nem valószínűségek, de egyelőre megpróbálunk úgy tenni, mintha azok volnának – vagy inkább a valószínűségek analogonjai a kvantumszinten.

Hogyan működnek a közönséges valószínűségek? Segíteni fog, ha egy makroszkopikus objektumra, mondjuk egy golyóra gondolunk, amelyet két lyuk valamelyikén át az utánuk elhelyezett ernyő felé ütünk – mint az előbb leírt kétrés-kísérletben (vö. 6.3. ábra), de most egy klasszikus, makroszkopikus golyó helyettesíti az előző kísérlet fotonját. Van valamekkora P(F, R_f) valószínűsége annak, hogy a golyó F-ből indítva a felső R_f lyukat éri el, és valamekkora P(F, R_f) valószínűsége annak, hogy az alsó R_a lyukat. Kiválasztunk továbbá az ernyőn egy E pontot; P(R_f, E) a valószínűsége annak, hogy a golyó R_f-en átmenve az ernyő E pontjába jut, és P(R_a, E) a valószínűsége annak, hogy R_a-n átmenve jut az E pontba. Ha csak a felső R_f lyuk van nyitva, akkor annak valószínűségét, hogy a golyó indítás után R_f-n keresztül eléri E-t, úgy kapjuk meg, hogy az F-ből R_f-be jutás valószínűségét megszorozzuk az R_f-ből E-be jutás valószínűségével:

 

P(F, R_f) ∙ P(R_f, E).

 

Hasonlóan, ha csak az alsó lyuk van nyitva, akkor annak valószínűsége, hogy a golyó F-ből E-be jut:

 

P(F, R_a) ∙ P(R_a, E).

 

Ha mindkét lyuk nyitva van, akkor az F-ből R_f-en keresztül E-be jutás valószínűsége továbbra is az első kifejezés, P(F, R_f) ∙ P(R_f, E), mintha csak R_f volna nyitva, és az F-ből R_a-n keresztül E-be jutás valószínűsége továbbra is P(F, R_a) P(R_a, E), így annak teljes P(F, E) valószínűsége, hogy F-ből E-be jut, e kettő összege:

 

P(F, E) = P(F, R_f) ∙ P(R_f, E) + P(F, R_a) ∙ P(R_a, E).

 

A kvantumszinten a szabályok pontosan ugyanezek, csak ott ezek a furcsa komplex amplitúdók kell játsszák az előbbi valószínűségek szerepét. Így a kétrés-kísérletben van egy A(F, R_f) amplitúdónk arra, hogy a foton az F forrásból elérje a felső R_f rést, és egy A(R_f, E) amplitúdónk arra, hogy a R_f réstől elérje az ernyő E pontját. Ezeket összeszorozva kapjuk annak

 

A(F, R_f) ∙ A(R_f, E)

 

amplitúdóját, hogy a foton R_f-n keresztül az ernyő E pontjába jut. Mint a valószínűségeknél, ez a helyes amplitúdó, feltéve hogy a felső rés nyitva van, és függetlenül attól, hogy az alsó R_a rés nyitva van-e vagy sem. Hasonlóképpen, feltéve hogy R_a nyitott, van egy

 

A(F, R_a) ∙ A(R_a, E)

 

amplitúdója annak, hogy a foton F-ből R_a-n keresztül eljut E-be (akár nyitva van R_f, akár nincs). Ha mindkét rés nyitva van, akkor

 

A(F, E) = A(F, R_f) ∙ A(R_f, E) + A(F, R_a) ∙ A(R_a, E)

 

a teljes amplitúdója annak, hogy a foton F-ből E-be jut.

Ez mind nagyon szép, de sok haszna nincs addig, amíg nem tudjuk, hogyan értelmezzük ezeket az amplitúdókat, amikor egy kvantumos jelenség felnagyítva eléri a klasszikus szintet. Lehet például E-ben egy fotondetektor vagy fotocella, amely módot ad arra, hogy egy kvantumos szintű eseményt – egy foton E-be érkezését – klasszikusan észrevehető eseménnyé, mondjuk egy hallható „kattanássá” erősítsük fel. (Ha az ernyő fotolemezként működik, vagyis ha a fotonok látható pontokat hagynak rajta, akkor ez éppen olyan jó, de a világosság kedvéért maradjunk a fotocellánál.) A „kattanás” bekövetkeztének is kell legyen egy aktuális valószínűsége, amely nem ezen titokzatos „amplitúdók” valamelyike. Hogyan jutunk el az amplitúdóktól a valószínűségekig, amikor a kvantumosról átmegyünk a klasszikus szintre? Kiderül, hogy erre van egy nagyon szép, de titokzatos szabály.

A szabály az, hogy a komplex kvantumamplitúdó abszolútérték-négyzetét kell vennünk, hogy megkapjuk a klasszikus valószínűséget. Mi az „abszolútérték-négyzet”? Emlékezzünk a komplex számok leírására az Argand-síkon (3. fejezet). Egy z komplex szám |z| abszolút értéke a z által leírt pont távolsága a kezdőponttól (azaz a 0 ponttól). A |z|² abszolútérték-négyzet e szám négyzete. Így ha

 

z = x + iy,

 

ahol x és y valós számok, akkor (a Pitagorasz-tétel szerint, mert a 0-tól z-ig húzott szakasz a 0, x, z derékszögű háromszög átfogója) a keresett abszolútérték-négyzet

 

|z|² = x² + y².

 

Jegyezzük meg, hogy ez akkor valódi „normált” valószínűség, ha a |z|² értéke 0 és 1 közé esik. Ez azt jelenti, hogy egy helyesen normált amplitúdónál a z pontnak az Argand-síkon az egységkörben kell feküdnie (lásd 6.8. ábra). Olykor azonban a

 

w × „A lehetőség” + z × „B lehetőség”

 

kombinációt akarjuk vizsgálni, ahol w és z csupán arányosak a valószínűségi amplitúdókkal, és nem kell e körben feküdniük. Annak feltétele, hogy normáltak (és így igazi valószínűségi amplitúdók) legyenek, az, hogy abszolútérték-négyzeteik összege az egység legyen:

 

|w|² + |z|² = 1.

 

Ha w és z nem így normáltak, akkor A és B tényleges amplitúdója rendre 

, ezek az egységkörben fekszenek.

Lehet, hogy túl sok mindezt idemásolnom a könyvből, de a hatodik fejezet néhány alfejezete, például ez is közelebb hozzák a megértés esélyét (számomra), mert ezekből geometriai ábrázolásokon keresztül szemléletesebbé válhat a szavakkal megfoghatatlan.

A valószínűség számítást negyedikben tanultuk; a komplex számokkal azonban ott nem találkoztunk.

Még lesz egy-két ilyen alfejezet: ilyen túl sok a jóból. Amikor végére érek Penrose könyvének,

akkor megpróbálom ezt a két vagy három folytatásban közölt bejegyzést egy kis rostálással összefűzni. Ezek a folytatások: vázlatok, feljegyzések az egyelőre még csak sejtett egész mozaikdarabjai. „Rész és egész”

Látjuk most, hogy egy valószínűségi amplitúdó nem igazán valószínűség, sokkal inkább egy valószínűség „komplex négyzetgyöke”. Hogyan érinti ez a dolgokat, amikor a kvantumszintű jelenségek felnagyítódnak a klasszikus szintre? Emlékezzünk arra, hogy a valószínűségek és amplitúdók kezelésénél olykor meg kell szoroznunk vagy össze kell adnunk azokat. Először azt kell megjegyeznünk, hogy a szorzás művelete nem jelent problémát a kvantumosról a klasszikus szabályokra való áttérésnél. Ez annak a figyelemre méltó matematikai ténynek a következménye, hogy két komplex szám szorzatának abszolútérték-négyzete egyenlő abszolútérték-négyzeteik szorzatával:

 

|zw|² = |z|²|w|².

 

(Ez a tulajdonság azonnal következik két komplex szám szorzatának a 3. fejezetben bemutatott geometriai leírásából; de a z = x + iy, w = u + iv valós és képzetes részeivel kifejezve csinos kis bűvészkedés. Tessék kipróbálni!)

E ténynek az a velejárója, hogy ha a részecske előtt csak egyetlen út, például a kétrés-kísérletben csak egyetlen rés (mondjuk az R_f) van nyitva, akkor „klasszikusan” lehet érvelni, és a valószínűségek ugyanazok, függetlenül attól, hogy detektáljuk-e a részecskét egy további, közbeeső pontban (R_f-nél).¹¹¹ Az abszolútérték-négyzeteket vehetjük mindkét lépcsőben vagy csak a végén, például

 

|A(F, R_f)|² ∙ |A(R_f, E)|² = |A(F, R_f) ∙ A(R_f, E)|²,

 

az eredő valószínűség mindkét esetben ugyanaz lesz.

Ha azonban egynél több út járható (például mindkét rés nyitva van), akkor összeget kell képeznünk, és itt kezdenek mutatkozni a kvantummechanika jellegzetes sajátosságai. Amikor a w és z komplex számok w + z összegének abszolútérték-négyzetét képezzük, akkor általában nem abszolút értékeik négyzetösszegét kapjuk; van egy további „korrekciós tag”:

 

|w + z|² = |w|² + |z|² + 2|w||z| cosθ.

Itt θ a z és w pontoknak az Argand-sík kezdőpontjánál bezárt szöge (lásd 6.9. ábra). (Emlékezzünk rá, hogy egy szög koszinusza a „szög mellett fekvő befogó/átfogó” hányados egy derékszögű háromszögben. A fenti képletet nem ismerő, lelkes Olvasó közvetlenül levezetheti azt a 3. fejezetben bevezetett geometria segítségével. E képlet valójában nem más, mint az ismerős „koszinusztétel” kicsit álcázva!) A 2|w||z| cosθ korrekciós tag eredményezi a kvantuminterferenciát a kvantummechanikai alternatívák között. A cosθ kifejezés értéke –1 és 1 közé eshet. Amikor θ = 0°, akkor cosθ = 1, és a két lehetőség erősíti egymást, így a teljes valószínűség nagyobb, mint az egyes valószínűségek összege. Amikor θ = 180°, akkor cosθ = –1, és a két lehetőség ki akarja oltani egymást, ekkor a teljes valószínűség kisebb, mint az egyes valószínűségek összege (destruktív interferencia). Amikor θ = 90°, akkor cosθ = 0, ekkor az a köztes helyzet áll elő, amikor a két valószínűség összeadódik. Nagy vagy bonyolult rendszereknél a korrekciós tagok általában „kiátlagolódnak” – mert cosθ „átlagos” értéke nulla –, és megkapjuk a klasszikus valószínűségek közönséges szabályát! A kvantumszinten azonban ezek a tagok fontos interferenciajelenségeket eredményeznek.

Tekintsük a kétrés-kísérletet, amikor mindkét rés nyitva van. Annak amplitúdója, hogy a foton elérje E-t, egy összeg, w + z, ahol most

 

w = A(F, Rf) ∙ A(Rf, E),

z = A(F, Ra) ∙ A(Ra, E).

 

Az ernyő legfényesebb pontjában w = z (tehát cosθ = 1), ebből

 

|w + z|² = |2w|² = 4|w|²,

 

ez négyszerese a |w|² valószínűségnek, amely akkor érvényes, ha csak a felső rés van nyitva – és ezért négyszerese az intenzitásnak, amikor nagyszámú foton van jelen, egyezésben a megfigyeléssel. Az ernyő sötét pontjaiban w = –z (tehát cosθ = –1), amiből

 

|w + z|² = |w – w|² = 0,

 

azaz zérussal egyenlő (destruktív interferencia), ismét egyezésben a megfigyeléssel. Az egzaktul közbenső pontoknál w = iz vagy w = –iz (tehát cosθ = 0), ebből

 

|w + z|² = |w ± iw|² = |w|² + |w|² = 2|w|²,

 

az intenzitás kétszer akkora, mint egy rés esetén (ami a klasszikus részecskék esete volna). A következő fejezet végén látni fogjuk, hogyan kell kiszámítani, ténylegesen hol vannak a fényes, sötét és közbeeső helyek.

Egy végső megjegyzést kell még tennünk. Ha mindkét rés nyitva van, akkor annak amplitúdója, hogy a részecske R_f-en keresztül eljut E-be valóban w = A (F, R_f) ∙ A(R_f, E), de ennek |w|² abszolútérték-négyzetét nem értelmezhetjük annak valószínűségeként, hogy a részecske „ténylegesen” áthaladt a felső résen, hogy elérje E-t. Ez értelmetlenséget adna, különösen ha E az ernyő egy sötét pontja. De ha úgy döntünk, hogy „detektáljuk” a foton jelenlétét R_f-nél, ottani jelenlétének (vagy hiányának) jelenségét a klasszikus szintre felnagyítva, akkor használhatjuk |A(F, R_f)|²-et annak valószínűségeként, hogy a foton ténylegesen jelen volt R_f-nél. Ám ez a detektálás elmossa a hullámos mintát. Hogy interferencia legyen, biztosítanunk kell, hogy a foton áthaladása a réseken a kvantumszinten maradjon, vagyis mindkét alternatív út adjon járulékot, és olykor megsemmisíthessék egymást. A kvantumszinten az egyedi alternatív utaknak csak amplitúdói vannak, valószínűségei nincsenek.

¹¹¹ A detektálást úgy kell végezni, hogy ne zavarja a részecske áthaladását R_f-en. Ez elérhető úgy, hogy a többi helyre rakunk detektorokat F köré, és az R_f-en való áthaladásra abból következtetünk, hogy ezek a detektorok nem szólalnak meg!

A határozatlansági elv

A legtöbb Olvasó már biztosan hallott a Heisenberg-féle határozatlansági elvről. Eszerint nem lehetséges egyidejűleg pontosan mérni (azaz a klasszikus szintre felnagyítani) egy részecske helyzetét és impulzusát. Ennél még rosszabb, hogy a pontosságok, mondjuk ∆x és ∆p szorzatára abszolút korlát létezik, amit a

 

∆x∆p ≥ ħ

 

összefüggés fejez ki. Ez azt mondja, hogy minél pontosabban mérjük az x helyzetet, annál kevésbé pontosan lehet a p impulzust meghatározni és viszont. Ha a helyzetet végtelen pontossággal mérnénk, akkor az impulzus teljesen bizonytalanná válna; ha viszont az impulzust mérjük pontosan, akkor a részecske helyzete válik teljesen bizonytalanná. Hogy elképzelésünk legyen a Heisenberg-féle összefüggés korlátjának nagyságáról, tegyük fel, hogy egy elektron helyzetét egy nanométer (10^–9 m) pontossággal mérjük; impulzusa ekkor annyira bizonytalanná válna, hogy egy másodperccel később akár 100 kilométer távolságban is lehetne!

Egyes leírásokból azt lehet hinni, hogy ez csupán a mérési folyamatban benne rejlő egyfajta beépített ügyetlenség. Ezek szerint az elektron előbbi esetében a lokalizálási szándék elkerülhetetlenül véletlenszerű „lökést” ad neki, olyan erőset, hogy az elektron valószínűleg elrepül a Heisenberg-elv által jelzett nagyságú sebességgel. Más leírásokban azt olvassuk, hogy a határozatlanság magának a részecskének a tulajdonsága, mozgásában inherens véletlenszerűség van, ami által viselkedése a kvantumszinten megjósolhatatlan. Megint más helyeken azt találjuk, hogy egy kvantumos részecske az valami megfoghatatlan, amelyre maguk a klasszikus hely- és impulzusfogalmak alkalmazhatatlanok. Egyik magyarázattal sem értek egyet. Az első némiképp félrevezető; a második biztosan rossz; a harmadik pedig túlságosan pesszimista.

Mit mond igazából a hullámfüggvény-leírás? Idézzük fel először az impulzusállapot leírását. Ez az a helyzet, ahol az impulzus pontosan meghatározott. A ψ görbe egy dugóhúzó, amely a tengelytől mindvégig azonos távolságban marad. A különböző helyértékek amplitúdóinak abszolútérték-négyzetei ezért egyenlőek. Így ha helymérést végzünk, akkor a részecskét az egyik vagy másik pontban azonos valószínűséggel találjuk meg. A részecske helyzete valóban teljesen bizonytalan! Milyen a helyállapot? A ψ görbe most egy delta-függvény. A részecske pontosan lokalizált – abban a pontban, ahol a delta-függvény kicsúcsosodik –, minden más helyzet amplitúdója zérus. Az impulzusamplitúdókat legjobban az impulzustérbeli leírásból kaphatjuk meg, most a 

 

 görbe a dugóhúzó, ezért most a különböző impulzusamplitúdók abszolútérték-négyzetei egyenlőek. A részecske impulzusát mérve az eredmény most teljesen bizonytalan!

Érdekes megvizsgálni egy közbenső állapotot, amelyben a helyzetek és impulzusok egyaránt csak részben korlátozottak, olyan mértékben, amely megfelel a Heisenberg-összefüggésnek. Egy ilyen eset ψ görbéje és a megfelelő 

 görbe (egymás Fourier-transzformáltjai) a 6.14. ábrán látható. Vegyük észre, hogy mindkét görbe tengelytől mért távolsága csak egy kis tartományban jelentős. Nagyon messze a görbék nagyon megközelítik a tengelyt. Ez azt jelenti, hogy az abszolútérték-négyzetek csak egy nagyon korlátozott tartományban jelentős nagyságúak, mind a helyzettérben, mind az impulzustérben. Így a részecsketérben eléggé lokalizált lehet, de bizonyos szórás van; az impulzus hasonlóképpen eléggé meghatározott, így a részecske eléggé határozott sebességgel mozog, és a lehetséges helyzetek szórása nem nő túl nagyra az idő során. Az ilyen kvantumállapot neve hullámcsomag; gyakran ezt veszik a klasszikus részecske legjobb kvantumelméleti közelítésének. Azonban az impulzus- (azaz sebesség-) értékek szórása azzal jár, hogy a hullámcsomag az idő során szétterjed. Minél lokalizáltabb az induláskor, annál gyorsabban fog szétterjedni.

Az U és R fejlesztési eljárások

A hullámcsomag időbeli fejlődésének e leírása mögött hallgatólagosan a Schrödinger-egyenlet húzódik meg, amely megmondja, hogyan változik ténylegesen a hullámfüggvény az időben. Igazából annyit mond, hogy ha ψ-t szétbontjuk impulzusállapotokra („tiszta hangok”), akkor mindegyik összetevő olyan sebességgel mozog, amely c² osztva a szóban forgó impulzusú klasszikus részecske sebességével. Schrödinger matematikai egyenlete ennél valójában tömörebben van felírva. Egzakt alakját később megszemléljük. Némileg emlékeztet Hamilton vagy Maxwell egyenleteire (mindkettővel szoros kapcsolatban áll), és azokhoz hasonlóan a hullámfüggvény tökéletesen determinisztikus fejlődését adja meg, ha az egy tetszőleges időpontban elő van írva!

ψ-t úgy tekintve, mint ami a világ „valóságát” írja le, nincs semmiféle indeterminizmusunk, amit a kvantumelmélet inherens tulajdonságának feltételeznek – mindaddig, amíg ψ-t a determinisztikus Schrödinger-fejlődés irányítja. Legyen e fejlődési folyamat neve U. Ám amikor a kvantumos jelenségeket a klasszikus szintre felnagyítva „mérést végzünk”, megváltoztatjuk a szabályokat. Nem használjuk U-t, helyette egy teljesen különböző eljárást fogadunk el, R-nek fogom nevezni, ezzel képezzük a kvantumamplitúdók abszolútérték-négyzeteit, hogy megkapjuk a klasszikus valószínűségeket!¹¹⁴ Az R eljárás és csak ez vezet be bizonytalanságokat és valószínűségeket a kvantumelméletbe.

A számoló fizikusok szempontjából az U determinisztikus folyamat látszik a kvantumelmélet döntő fontosságú részének; a filozófusokat mégis jobban érdekli a nemdeterminisztikus R állapotvektor-redukció (vagy ahogy olykor képszerűen nevezik: a hullámfüggvény kollapszusa). Attól függően, hogy R-et egyszerűen csak egy rendszerről elérhető „tudásunkban” bekövetkező változásnak tekintjük, vagy (ahogy magam is) valami „valódinak” vesszük, két teljesen különböző matematikai útra lépünk, másképpen írjuk le egy fizikai rendszer állapotvektorának időbeli változását. U teljesen determinisztikus, míg R valószínűségi törvény; U megőrzi a kvantumelmélet komplex szuperpozícióját, R durván megsérti azt; U folytonos módon működik, R otrombán nem folytonos. A kvantummechanika szabványos eljárásai nem teszik lehetővé, hogy valamilyen módon „levezessük” R-t mint U egy bonyolult példáját. Az U-tól különböző eljárás a kvantumos formalizmus értelmezésének másik „fele”. Az elmélet minden nemdeterminisztikus jellege R-ből származik és nem U-ból. A kvantumelmélet és a megfigyelt jelenségek minden csodálatos egyezéséhez mind U-ra, mind R-re szükség van.

Térjünk vissza ψ hullámfüggvényünkhöz. Tegyük fel, hogy impulzusállapotról van szó. Ez mindaddig békésen megmarad, amíg a részecske nem hat kölcsön valamivel. (Ezt mondja nekünk a Schrödinger-egyenlet.) Ha bármikor úgy határozunk, hogy „megmérjük impulzusát”, mindig ugyanazt a határozott választ kapjuk. Itt nincsenek valószínűségek. A jósolhatóság ugyanolyan nyilvánvaló, mint a klasszikus elméletben. Tegyük azonban fel, valamikor úgy határozunk, hogy megmérjük (a klasszikus szintre felnagyítjuk) a részecske helyét. Ekkor azt találjuk, hogy vannak valószínűségi amplitúdóink, amelyek abszolút értékeit négyzetre kell emelnünk. Ez a pont bővelkedik a valószínűségekben, és teljes a bizonytalanság, milyen eredményt fog hozni a mérés. A bizonytalanság összhangban van a Heisenberg-elvvel.

Tegyük fel másrészt, hogy helyzetállapotú (vagy majdnem ilyen) ψ-vel indulunk. A Schrödinger-egyenlet most azt mondja nekünk, hogy ψ nem marad helyzetállapotban, hanem gyorsan szétterjed. Azt a módot azonban, ahogy szétterjed, az egyenlet teljesen meghatározza. Elvileg találhatnánk olyan kísérleteket, amelyekkel ezt a tényt ellenőrizhetnénk. (Erről többet később.) De ha oktalanul az impulzusát mérjük meg, akkor azt találjuk, hogy mindegyik lehetséges, különböző impulzusérték amplitúdójának az abszolútérték-négyzete egyenlő, és a kísérlet eredménye tökéletesen bizonytalan – ismét összhangban a Heisenberg-elvvel.

Hasonlóképpen, ha hullámcsomag ψ-vel indulunk, annak fejlődését a Schrödinger-egyenlet tökéletesen rögzíti, és elvileg ki lehet gondolni kísérleteket ennek nyomon követésére. De amint különböző módon mérjük a részecskét – mondjuk helyzetét vagy impulzusát –, akkor azt találjuk, hogy bizonytalanságok lépnek be, ismét összhangban a Heisenberg-elvvel, az amplitúdók abszolútérték-négyzetei által megadott valószínűségekkel.

A helyzet kétségtelenül nagyon furcsa és titokzatos. De a kép nem megfoghatatlan képe a világnak. Sok olyan része van, amelyet nagyon világos és pontos törvények szabályoznak. Egyelőre nincs azonban világos szabály arra, mikor kell a valószínűségi R szabályhoz fordulni a determinisztikus U helyett. Mi egy „mérés”? Miért (és mikor) „válnak valószínűségekké” az amplitúdók abszolútérték-négyzetei? Meg lehet-e érteni a „klasszikus szintet” kvantummechanikailag? Ezek mély és rejtélyes kérdések, amelyeket még majd e fejezetben megvizsgálunk.

¹¹⁴ E két fejlődési folyamatot … Neumann János (1955) írta le egy klasszikus művében. Az ő „1-es folyamatát” – „az állapotvektor redukcióját” – neveztem R-nek, 2-es folyamatát – az „unitér fejlődést” (ami lényegében azt jelenti, hogy a valószínűségi amplitúdók a fejlődés során megmaradnak) – U-nak. A kvantumállapotok U fejlődésének vannak más – bár ekvivalens – leírásai is, amelyekben nem használhatjuk a „Schrödinger-egyenlet” kifejezést. A „Heisenberg-képben” például az állapot egyáltalán nem fejlődik, a dinamikai fejlődés a hely/impulzus-koordináták jelentésének folyamatos változására tolódik át. Az eltérések nem fontosak számunkra, lévén az U folyamat különböző leírásai teljesen egyenértékűek.

 Attól függően, hogy R-et egyszerűen csak egy rendszerről elérhető „tudásunkban” bekövetkező változásnak tekintjük, vagy (ahogy magam is) valami „valódinak” vesszük, két teljesen különböző matematikai útra lépünk,

a „tudásunkban” bekövetkező változás, vagy valami „valódi” …

Részecskék két helyen egyszerre?

Fenti leírásomban a hullámfüggvénynek egy sokkal inkább „realisztikus” szemléletét fogadtam el, mint ami a kvantumfizikusok körében talán szokásos. Arra a nézőpontra helyezkedtem, hogy egy egyedi részecske „objektíven valós” állapotát írja le a hullámfüggvény. Ezt, úgy látszik, sok ember túl nehéz álláspontnak tartja ahhoz, hogy komolyan ragaszkodjék hozzá. Ennek egyik oka az lehet, hogy magában foglalja annak lehetőségét, hogy egyedi részecskék a térben szétterjedjenek, és ne mindig egyetlen pontra koncentrálódjanak. E szétterjedés az impulzusállapotnál a legszélsőségesebb, mert ψ ott egyenletesen oszlik el az egész térben. Ahelyett, hogy a részecskét gondolnák az egész térben szétterjedtnek, az emberek jobban szeretik a helyzetét „teljesen bizonytalannak” tekinteni, így minden, amit erről mondani lehet, az, hogy a részecske egyenlő valószínűséggel lehet bármelyik pontban. Láttuk azonban, hogy a hullámfüggvény nem csupán valószínűségi eloszlást ad a különböző helyzetekre, hanem amplitúdóeloszlást is. Ha ismerjük ezt az amplitúdóeloszlást (azaz a ψ függvényt), akkor – a Schrödinger-egyenletből – ismerjük annak pontos útját, ahogy a részecske állapota egyik pillanatról a következőre fejlődni fog. Szükségünk van a részecske e „szétterjedt” szemléletére, hogy „mozgása” (azaz ψ időbeli fejlődése) meghatározott legyen; és ha elfogadjuk e szemléletet, akkor látjuk, hogy a részecske mozgása valóban pontosan meghatározott. A ψ(x)-re vonatkozó „valószínűségi szemlélet” megfelelő volna, ha helyzetmérést hajtanánk végre a részecskén, és ψ(x)-et azután csak abszolútérték-négyzet formájában használnánk: |(x)|².

Úgy látszik, ki kell egyeznünk ezzel a részecskeképpel, amely a tér nagy tartományaira szétterjedhet, és amely valószínűleg szétterjedt marad, amíg a következő helymérést el nem végzik. Még amikor egy helyzetállapotban lokalizált is, a következő pillanatban a részecske kezd szétterjedni. Egy impulzusállapot nehezen elfogadhatónak tűnhet mint a részecskelétezés „valóságának” képe, de talán még nehezebb „valóságosnak” elfogadni a kétcsúcsú állapotot, amely akkor jelenik meg, amikor a részecske egy réspáron haladt keresztül (6.15. ábra). A ψ hullámfüggvény alakja a függőleges irányban élesen kicsúcsosodna mindkét rés helyén, lévén összege¹¹⁵ egy ψ_f hullámfüggvénynek, amelynek a felső résnél van éles csúcsa, és egy ψ_a-nek, amelynek az alsónál:

 

Ha a részecske állapotának „valóságát” jeleníti meg, akkor el kell fogadnunk, hogy a részecske valóban két helyen „van” egyszerre! Ebben a szemléletben a részecske tényleg egyszerre haladt át mindkét résen.

Emlékezzünk vissza, mi erre a szokásos ellenvetés: ha mérést végzünk a réseknél, hogy meghatározzuk, melyiken ment a részecske keresztül, mindig azt találjuk, hogy a teljes részecske van az egyik vagy a másik résnél. De ez azért van így, mert helyzetmérést hajtunk végre a részecskén, vagyis ψ most csupán a részecske helyzetére vonatkozó |ψ|² valószínűségi eloszlással szolgál az abszolútérték-négyzetes eljárással összhangban, és valóban mindig éppen az egyik vagy másik helyen találjuk. Vannak azonban másféle, nem a helyzetet meghatározó mérések, amelyeket végre tudnánk hajtani a réseknél. Ezekhez a kétcsúcsú ψ hullámfüggvényt kellene ismernünk x különböző értékeire, és nem |ψ|²-et. Egy ilyen mérés különbséget tehet az előbbiekben megadott, kétcsúcsú

 

ψ = ψ_f + ψ_a

 

állapot és más kétcsúcsú állapotok, például

 

ψ = ψ_f – ψ_a,

 

vagy

 

ψ = ψ_f + iψ_a

 

között. (Lásd az egyes eseteket a 6.16. ábrán.) Mivel valóban vannak mérések, amelyek megkülönböztetik e változatos lehetőségeket, ezért mindegyik különböző lehetséges „aktuális” módja kell legyen a foton létezésének!

A réseknek nem kell közel lenniük egymáshoz, hogy egy foton keresztül tudjon menni „mindkettőn egyszerre”. Hogy lássuk, hogy egy kvantumos részecske igenis lehet „két helyen egyszerre”, függetlenül attól, mekkora távolság van ezek között, tekintsünk egy, a kétrés-kísérlettől kissé különböző elrendezést. Mint előbb, van egy monokromatikus fényt – egyszerre egy fotont – kibocsátó lámpánk; de a fényt most nem egy réspáron bocsátjuk keresztül, hanem a nyaláb irányával 45°-os szöget bezáró, félig ezüstözött tükörrel visszaverjük. (A félig ezüstözött tükör a ráeső fénynek pontosan a felét veri vissza, a másik felét átengedi.) A tükörrel való találkozás után a foton hullámfüggvénye két részre hasad, az egyik rész oldalra visszaverődik, a másik folytatja útját a foton eredeti irányában. A hullámfüggvény megint kétcsúcsú, mint a réspárból felbukkanó foton esetében, de a két csúcs most sokkal messzebb van egymástól, az egyik a visszaverődő, a másik az átmenő fotont írja le (lásd 6.17. ábra). Mi több, ahogy az idő halad, a csúcsok közötti távolság egyre nagyobb és nagyobb lesz, minden határon túlnő. Képzeljük el, hogy a hullámfüggvény két része kiszökik a térbe, és várunk egy egész évig. A foton hullámfüggvényének két csúcsa akkor már egy fényév távolságra lesz. A foton valahogy egyszerre két helyen van, amelyek több mint egy fényévnyire vannak egymástól!

Van-e okunk arra, hogy komolyan vegyük ezt a képet? Nem tekinthetjük-e a fotont úgy, hogy 50% valószínűséggel az egyik helyen, 50% valószínűséggel a másikon van? Nem, ezt nem tehetjük! Függetlenül attól, milyen messze ment el, mindig fennáll annak a lehetősége, hogy a nyaláb két része visszaverődve újra találkozzék és interferenciajelenségeket hozzon létre, amely a két lehetőség valószínűségi súlyozása esetén nem következhetne be. Tegyük fel, hogy a nyaláb mindkét része teljesen ezüstözött tükörrel találkozik, amelyek olyan szögben vannak beállítva, hogy újra összehozzák a nyalábokat, a találkozási pontban pedig egy másik, félig ezüstözött tükör van éppen olyan szögben, mint az első. A nyalábok további útjába egy-egy fotocellát helyeztünk el (lásd 6.18. ábra). Mit fogunk észlelni? Ha csupán az volna a helyzet, hogy a foton 50% valószínűséggel az egyik, 50% valószínűséggel a másik utat követi, akkor azt találnánk, hogy az egyik és másik detektor 50-50% valószínűséggel jelzi a fotont. Azonban nem ez történik. Ha a két lehetséges út pontosan egyenlő hosszúságú, akkor a foton 100% valószínűséggel éri el az eredeti mozgás irányában elhelyezett A detektort, és 0 valószínűséggel a másik, B detektort – a foton biztosan az A detektort szólaltatja meg! (Beláthatjuk ezt, használva a korábbi dugóhúzó-leírást, ugyanúgy, mint a kétrés-kísérletnél.)

Ilyen kísérletet természetesen soha nem hajtottak végre fényév nagyságrendű úthosszúságokkal, de az elmondott eredményt nem vonják komolyan kétségbe (a hagyományos kvantumfizikusok!). Elvégeztek ilyen jellegű kísérleteket sokméteres úthosszakkal, és az eredmények valóban teljesen megegyeznek a kvantummechanikai jóslatokkal (vö. Wheeler 1983). Mit mond ez nekünk a foton létezéséről a félig visszaverő tükrökkel való találkozásai között? Elkerülhetetlennek látszik, hogy a fotonnak, valamilyen értelemben, ténylegesen utaznia kell mindkét úton egyszerre! Mert ha egy elnyelő ernyőt helyezünk a két út egyikére, akkor utána egyenlő valószínűséggel éri el A-t vagy B-t; de ha mindkét út nyitva van (és egyenlő hosszúságú), akkor csak A-t tudja elérni. Az egyik út lezárása lehetővé teszi, hogy a foton B-be jusson! Ha mindkét út nyitva van, akkor a foton valahogy „tudja”, hogy nem mehet B-be, így ténylegesen ki kell tapogatnia mindkét utat.

Niels Bohr nézete, hogy a foton létezésének a mérések pillanatai között nem lehet objektív „értelmet” tulajdonítani, számomra nagyon-nagyon pesszimistának látszik a foton állapotának valóságát illetően. A kvantummechanika egy hullámfüggvényt ad nekünk, hogy leírjuk a foton helyzetének „valóságát”, és a két, félig ezüstözött tükör között a hullámfüggvény éppen egy kétcsúcsú állapot, amelyben a két csúcs távolsága olykor nagyon jelentós.

Megjegyezzük még, hogy a „két meghatározott helyen van egyszerre” nem teljes leírása a foton állapotának: meg kell tudnunk különböztetni a ψ_f + ψ_a állapotot mondjuk ψ_f – ψ_a állapottól (vagy mondjuk a ψ_f + iψ_a-től), ahol ψ_f és ψ_a a foton helyzeteire vonatkozik az egyes utakon. Ez a megkülönböztetés az, ami meghatározza, hogy a foton a második félig ezüstözött tükör után biztosan A-ba vagy biztosan B-be jut-e (vagy mindkettőt valamilyen közbenső valószínűséggel éri el).

A kvantumos valóság e rejtélyes tulajdonsága – nevezetesen, hogy komolyan kell vennünk, hogy egy részecske változatos (különböző!) módokon „lehet két helyen egyszerre” – abból a tényből származik, hogy meg kell engednünk a kvantumállapotok komplex számokkal súlyozott összeadását, ami újabb kvantumállapotokra vezet. Az állapotok effajta szuperpozíciója a kvantummechanika általános – és fontos – tulajdonsága, neve kvantumos lineáris szuperpozíció. Ez teszi lehetővé, hogy helyzetállapotokból impulzusállapotokat építsünk fel, vagy impulzusállapotokból helyzetállapotokat. Ezekben az esetekben a lineáris szuperpozícióban végtelen sok különböző állapot szerepel, minden különböző helyzetállapot vagy minden különböző impulzusállapot. De amint láttuk, a kvantumos lineáris szuperpozíció eléggé rejtélyes akkor is, amikor csak egy állapotpárra vonatkozik. A szabály az, hogy tetszőleges két állapot, függetlenül attól, mennyire különbözők lehetnek, tetszőleges komplex lineáris kombinációban együtt élhet. Valójában minden egyedi részecskékből álló fizikai objektumnak képesnek kellene lennie arra, hogy ilyen térbelileg nagyon elkülönülő állapotok szuperpozíciójában létezzen, és így „egyszerre legyen két helyen”! A kvantummechanika formalizmusa ebben a vonatkozásban nem tesz különbséget az egyetlen részecske és a sok részecskéből álló bonyolult rendszerek között. Miért nem látunk akkor makroszkopikus testeket, mondjuk krikettlabdákat, sőt embereket két tökéletesen különböző helyen egyszerre? Ez igen mély kérdés, és a mai kvantumelmélet nem nyújt igazán kielégítő választ. Egy olyan szilárd objektumnál, mint egy krikettlabda, a rendszert a „klasszikus szinten” lévőnek kell tekintenünk – vagy, a szokásosabb megfogalmazásban, „megfigyelést” vagy „mérést” végzünk a krikettlabdán –, és akkor a komplex valószínűségi amplitúdók, amelyek lineáris szuperpozíciónkat súlyozzák, abszolútérték-négyzeteikkel kell megjelenjenek, mint amik leírják a tényleges lehetőségek valószínűségeit. Így azonban igazából csak megkerüljük a vitatott kérdést, miért szabad a kvantumos szabályokban ezen a módon áttérni U-ról R-re! Erre a kérdésre később visszatérek.